Din telefon kan finde sig selv uden SIM-kort og uden internet, fordi GPS er envejs: telefonen sender aldrig noget, den lytter kun. Omkring 30 satellitter kredser i 20.200 km højde og stryger hen over himlen to gange i døgnet, hver med et atomur om bord, og de udsender alle de samme tre ting — hvem jeg er, hvor jeg er, hvornår jeg sendte det her. Telefonen sammenligner tidsstemplet med sit eget ur, ganger forskellen med lysets hastighed og gør dermed hver satellit til en kugleflade, som telefonen må stå på. Tre kugleflader ville være nok med et perfekt ur; telefonen har et billigt kvartsur, så en fjerde satellit løser urfejlen som en fjerde ubekendt ved siden af x, y og z. I denne interaktive gennemgang bygger du hele kæden op — fra en fabel om breve i en lille by til de relativistiske korrektioner. Uden dem ville hver eneste målte afstand få 11,6 km fejl om dagen.
Hver GPS-satellit udsender sin egen position og det præcise tidspunkt, den sendte beskeden på. Din telefon måler, hvor lang tid beskeden var undervejs, og ganger med lysets hastighed — det giver afstanden til netop den satellit og placerer telefonen et sted på en kugleflade omkring den. Fire sådanne kugleflader skærer hinanden i ét punkt, og det punkt er din position.
Tre afstande ville være nok, hvis telefonen havde et perfekt ur, for en position har kun tre ubekendte: x, y og z. Men en telefons kvartsur går langt mere forkert end de nanosekunder, målingen kræver, og fejlen flytter alle tre kugleflader lige meget — så positionen ser helt rigtig og sikker ud, samtidig med at den er flere kilometer forkert. En fjerde satellit giver en fjerde ligning, så modtageren kan løse urfejlen som en fjerde ubekendt — og som sidegevinst ender telefonen med at kende atomtid.
Ja. GPS modtager kun — telefonen sender aldrig noget til satellitterne, den lytter blot til signaler, der udsendes til alle. Det, der kræver internet, er kortet, du tegner positionen ind på, ikke selve positionen. Offlinekort plus GPS virker i flytilstand, i ørkenen og med SIM-kortet taget ud; den første position tager bare længere tid, fordi en telefon med netværk normalt får et forspring af hjælpedata derfra.
Satellitterne har atomure om bord, og de går ikke i samme takt som et ur på jorden. Sammenlignet med det ur, målt i det jordcentrerede system, får den specielle relativitetsteori dem til at gå cirka 7,2 µs om dagen for langsomt, fordi de bevæger sig med omkring 3,87 km/s, mens den almene relativitetsteori får dem til at gå cirka 45,8 µs om dagen for hurtigt, fordi de sidder højere i Jordens tyngdefelt. Netto bliver det +38,6 µs om dagen, og da ét mikrosekund svarer til cirka 300 m, ville et ukorrigeret system lægge omkring 11,6 km fejl i hver eneste målt afstand hver dag — og da satellitterne ikke driver i takt med hinanden, falder positionen fra hinanden i stedet for bare at glide. Korrektionen er bygget ind: satellittens oscillator er sat en anelse for lavt allerede før opsendelsen, og modtageren lægger selv de sidste, baneafhængige led til.
Nej — det er trilateration. Triangulering måler vinkler til kendte pejlemærker; GPS måler aldrig en vinkel. Systemet måler rejsetider, omsætter dem til afstande og skærer de kugleflader, afstandene giver.
Der er to forskellige fejl. Ionosfæren forsinker alle signaler en smule — nogenlunde lige meget for satellitter højt på himlen, mere for de lave, hvis signal skråner længere igennem den — så den fælles del bliver opsuget i den urfejl, modtageren alligevel løser, og kun forskellen bliver tilbage. En høj bygning er værre: den spærrer det direkte udsyn til en satellit, så det, der når frem, er en refleksion fra en mur, som har været længere undervejs — og netop den afstand måles derfor for lang. Den ene forkerte afstand trækker rundt i positionen, mens du går. Det er også derfor, prikken står knivskarpt på en åben strand.